気象と統計力学(Q2)

Q2 年間降水量の揺らぎ



3. 年間降水量の揺らぎ

最も確からしい確率(本論前編19)式)から、年間降水量Qの揺らぎを導くことができる。
$P_i = \displaystyle\frac{e^{-Q_i/\lambda}}{\sum_i e^{-Q_i/\lambda}}$
年間平均降水量Qは、
$Q=\displaystyle\frac{1}{\Gamma}\sum_i Q_i e^{-Q_i/\lambda}$
この両辺をλで微分すると、年間降水量の揺らぎ、数学的には標準偏差σ(Q)が求まる。
$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial \lambda}=\displaystyle\frac{1}{\Gamma^2}(\Gamma\displaystyle\frac{\partial}{\partial\lambda}(\sum_i Q_i e^{-Q_i/\lambda})-\displaystyle\frac{\partial\Gamma}{\partial\lambda}\sum_i Q_i e^{-Q_i/\lambda})$
$= \displaystyle\frac{1}{\Gamma^2}(\Gamma(\sum_i \displaystyle\frac{Q_i^2}{\lambda^2}e^{-Q_i/\lambda})-(\sum_i \displaystyle\frac{Q_i }{\lambda^2}e^{-Q_i/\lambda})(\sum_i Q_i e^{-Q_i/\lambda}))$
$=\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}(\displaystyle\frac{1}{\Gamma}\sum_i Q_i^2e^{-Q_i/\lambda})-\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}(\displaystyle\frac{1}{\Gamma}\sum_i Q_i e^{-Q_i/\lambda})^2$
$=\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}(\langle Q_i^2\rangle-\langle Q_i\rangle^2)$
$=\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}\langle(Q_i-\langle Q_i\rangle)^2\rangle$
従って、
$\sigma^2(Q)=\lambda^2\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial\lambda}$ 5)
平均降水量をλ/2とすれば、Q=Cλ/2において、Cは一定なので、年間降水量の揺らぎσ(Q)は、平均降水量のパラメータλに比例する。


4. 平均降水量の揺らぎσ(λ/2)

SL、SR、SKを用いて降水量の揺らぎを数式化する。

SRの定義より、
$S_R=\displaystyle\frac{E_1+E_2}{E_1}$
E=Nτより、
$S_R=1+\displaystyle\frac{N_B}{N_A}$
Q=mNより、
$S_R=1+\displaystyle\frac{m_A}{m_B}$
分子量をMとし、変形して、両辺にQを掛けて、
$Q=\displaystyle\frac{1}{S_R}(Q+\displaystyle\frac{M_A}{M_B}Q)$
従って、
$Q_1=\displaystyle\frac{Q_1}{S_R}+\displaystyle\frac{Q_2}{S_R}$
$Q_2=\displaystyle\frac{M_A}{M_B}Q_1$
は気体だから降水量として観測され得ないから、
$Q=\displaystyle\frac{C\lambda}{2S_R}$             6)

λの添え字aを日降水量、cを一雨の降水量とすれば、σ(Q)は6)式から、
$\sigma^2(Q)=(\displaystyle\frac{C}{S_R})^2\sigma^2(\displaystyle\frac{\lambda_C}{2})$
一雨の平均降水量の揺ぎσ(λc/2)は、5)式と6)式から得られるσ2(Q)を上式に代入して、
$\sigma^2(Q)=\lambda_C ^2\displaystyle\frac{C}{2S_R}$
従って、
$\sigma^2(\displaystyle\frac{\lambda_C}{2})=\lambda_C^2\displaystyle\frac{S_R}{2C}$           7)


5.パラメータSPとSQの設定

年間降水量と平均降水量のパラメータSRが違う場合を想定する。年間降水量のSRをSQ、平均降水量のSRをSpとして、7)式より、

$\sigma^2(\displaystyle\frac{\lambda_C}{2})=\displaystyle\frac{\lambda_C^2}{C}\displaystyle\frac{S_P}{2}$          8)
従って、
$Q=\displaystyle\frac{\lambda_C}{2S_Q}C$
より、Cを一定として、
$\lambda^2(Q)=\lambda_C^2 C\displaystyle\frac{S_P}{2S_Q^2}      9)
Aを年間降水日数、λa/2を平均日降水量とすれば、日降水量の揺らぎσ(λa/2)も同じ手順で次のとおりとなる。
$\sigma^2(\displaystyle\frac{\lambda_a}{2})=\displaystyle\frac{\lambda_a^2}{A}\displaystyle\frac{S_P}{2}$           10)
$\sigma^2(Q)=\lambda_a^2 A\displaystyle\frac{S_P}{2S_Q^2}$        11)

降水量の揺らぎは降水量のパラメータλだけではなく、パラメータSpとSQによっても変化する。

SPとSQは、パラメータ、SL、SR、SKのどれかであるが、降水量の揺らぎの解析によってそれらが求まり、3)式と4)式が導かれる。

 

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