気象と統計力学(Q3)

Q3. 観測値の整理と検証(1)(2)


6. 観測値の整理

降水量はアメダスの日降水量をもとにし、一雨の降水量は日降水量が連続している期間を合計したものである。降水回数はその連続した降水期間の年間の個数である。
観測地点は、ランダムに、つまり無作為に、αスケール低気圧程度、つまり、直径1000km程度の、西日本の17箇所の県庁所在地の観測所とし、観測値は1986年から2000年までの過去15年間の一雨の降水量と降水回数とした。

表1.に各観測所の15年間の平均値を示した。

17ヶ所の観測所全ての年間平均降水量Qは1824kg/m^2、年間降雨日数Aは120.1日、年間降水回数Cは60.19回、一雨の平均降水量λc/2は30.30kg/m^2、日平均降水量λa/2は15.19kg/m^2であることが分かる。

7. 検証と考察

(1) 日降水量λa/2と一雨降水量λc/2

表1.と図1-1.に年間降水量Qと日平均降水量(λa/2)、及び一雨の平均降水量(λc/2)の関係を示し、表1.と図1-2.に年間降水量の揺らぎσ(Q)と日平均降水量の揺らぎσ(λa/2)、及び一雨の平均降水量の揺らぎσ(λc/2)の関係を示した。

図1-1.の実線は12)式のC=60.19とA=120.1としたものであり、図1-2.の実線は13)式のC=60.19と14)式のA=120.1としたものである。
$Q=\displaystyle\frac{\lambda_a}{2}A=\displaystyle\frac{\lambda_C}{2}C$               12)
$\sigma(Q)=C\sigma(\displaystyle\frac{\lambda_C}{2})$               13)
$\sigma(Q)=\displaystyle\frac{A}{S_L}\sigma(\dusplaystyle\frac{\lambda_a}{2})$               14)

図1-1と図1-2からAとCは一定であることが分かる。図1-2から年間降水量の揺らぎσ(Q)は降水量の揺らぎσ(λ/2)と比例していることが分かる。





図2-1.に過去15年間、17箇所の観測所の255個の日平均降水量と一雨の平均降水量を、図2-2.に同じように255個の年間平均降水量と平均降水量を示した。

図中の実線は12)式を表し、図中の破線は次の式を表している。
$Q=(\displaystyle\frac{\lambda_a}{2}-\phi)\displaystyle\frac{A}{S_L}$               15)
$\displaystyle\frac{\lambda_C}{2}=(\displaystyle\frac{\lambda_a}{2}-\phi)\displaystyle\frac{A}{C}\displaystyle\frac{1}{S_L}$      16)

φ=3.547、SL=0.76646、A=120.1、C=60.19である。φは、Q=1824 kg、A=120.1、SL=0.76646、λa/2=Q/Aとして計算した。





図1-2.、図2-1.、図2-2.、からSLは日平均降水量にかかることが分かる。図1-1.、図1-2.、図2-1.、図2-2.から、全ての観測所でAとCが一定であると考えても良いことが分かる。

本論では、年間降水量と平均降水量の変動を、それらの平均値からの揺らぎとして考察する。CとAが一定であるから、パラメータSLは日平均降水量の中に含まれており、それは降水量の揺らぎの中に現れるはずである。以下で、降水量の揺らぎ、図1-2.の13)式と14)式の関係式を検討する。

図3-1.から図3-4.に年間降水量の揺らぎσ(Q)と平均降水量λ/2の関係、及び平均降水量の揺らぎσ(λ/2)と平均降水量λ/2の関係を示した。図中の実線は次の式である。
$\sigma^2(\displaystyle\frac{\lambda_C}{2})=\lambda_C^2\displaystyle\frac{1}{1.434C}$            17)
$\sigma^2(Q)=\lambda_C^2\displaystyle\frac{C}{1.434}$              18)
$\sigma^2(\displaystyle\frac{\lambda_a}{2})=(\displaystyle\frac{\lambda_a}{2}-\phi)^2\displaystyle\frac{4}{S_L^2}\displaystyle\frac{1}{1.211A}$       19)
$\sigma^2(Q)=(\displaystyle\frac{\lambda_a}{2}-\phi)^2\displaystyle\frac{4}{S_L^2}A\displaystyle\frac{1.211}{0.86114}$    20)

C=60.19、A=120.1、SL=0.76646、φ=3.547である。若干ばらついているが上式の関係の傾向はほぼ見られる。17)式と18)式、及び19)式と20)式を組み合わせると、図1-2.の13)式と14)式の関係式が得られる。






(2) パラメータSLとSR及びSK

理論式の8)式から11)式のパラメータSpとSQを観測値の17)式から20)式の数値から求める。

8)式と17)式から、
$\displaystyle\frac{S_P}{2}=\displaystyle\frac{1}{1.434}$
$S_P=1.395$ 
9)式と18)式より、
$\displaystyle\frac{S_P}{2S_Q^2}=\displaystyle\frac{1}{1.434}$
         ∴$S_Q=1.000$
SQ=1.000の時、SP=1.395となる。この1.395は、古典統計のパラメータSKの値である。

同様に、10)式と19)式から、
$\displaystyle\frac{S_P}{2}=\displaystyle\frac{1}{1.211}$
$S_P=1.6515$

11)式と20)式より、
$\displaystyle\frac{S_P}{2S_Q^2}=\displaystyle\frac{1.211}{0.86114}$
     ∴$S_Q=0.7663$

SQ=0.7663≒0.76646の時、SP=1.6515≒1.652となる。この1.652は、量子統計のパラメータSR=1.652である。

従って、8)式から11)式はSL、SK、SR、を用いて次のとおりとなる。
$\sigma^2(\displaystyle\frac{\lambda_C}{2})=\displaystyle\frac{\lambda_C^2}{C}\displaystyle\frac{S_K}{2}$          21)
$\sigma^2(Q)=\lambda_C^2 C\displaystyle\frac{S_K}{2}$           22)
$\sigma^2(\displaystyle\frac{\lambda_a}{2})=\displaystyle\frac{\lambda_a^2}{A}\displaystyle\frac{S_R}{2}$                 23)
$\sigma^2(Q)=\lambda_a^2 A\displaystyle\frac{S_R}{2S_L^2}                24)

一雨の降水量の観測値は古典統計のパラメータSKの数値を示し、日降水量の観測値は量子統計のパラメータSRの数値を示す。また日降水量の観測値にはパラメーターSLが現れている。Aが表れると、対でSLが表れる。従って、平均日降水量が現れると、ゼロを通る直線に対して傾きを持った、ゼロを通らない直線になる。

22)式、24)式より、
$(\displaystyle\frac{\lambda_a}{\lambda_C})^2\displaystyle\frac{AS_R}{S_L^2}=CS_K$
12)式より、
$(\displaystyle\frac{C}{A})^2=\displaystyle\frac{CS_K}{AS_R}S_L^2$
1)式より、3)式が導かれ、上式より、4)式が導かれる。4)式を25)式として再掲する。
$S_L^2\displaystyle\frac{A}{C}=\displaystyle\frac{S_R}{S_K}$       25)

エネルギーの比SLは、AとCの比を通してSRとSKの2種類のパラメータとなって表れ、系にはSKとSRが同時に存在することとなる。



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