気象と統計力学(S2)

S2 SRとパラメータαλの関係式

古典統計を1とおいて、パラメータαλを計算する。

自由度1の粒子の運動エネルギーεは、hをプランク定数、mを粒子の質量、Lεを系の長さ、nRを主量子数、とすれば、
$\varepsilon=\displaystyle\frac{h^2}{2mL_{\varepsilon}^2}n_R^2$
降水量xと運動エネルギーεの関係は、kεを新しいボルツマン定数として、本論前編の7)式より、
$\varepsilon=k_{\varepsilon}x$
従って、
$x=\displaystyle\frac{h^2}{2mL_{\varepsilon}^2 k_{\varepsilon}}n_R^2$
上式より、
$dn_R=\displaystyle\frac{1}{2\alpha_R}x^{-1/2}dx$
$\alpha_R^2=\displaystyle\frac{h^2}{2mL_{\varepsilon}^2k_{\varepsilon}}$
本論前編の古典統計の式から、
$c_{iK}=\displaystyle\frac{1}{2\alpha_R}e^{-\alpha}x^{-1/2}e^{-x/\lambda}$
C_K=\displaystyle\frac{1}{2\alpha_R}e^{-\alpha}\int_0^\infty x^{-1/2}e^{-x/\lambda}dx$
右辺の積分の項は$\sqrt{\pi}\sqrt{\lambda}$だから、古典統計は、
$f_K(x)=\displaystyle\frac{c_{iK}}{C_K}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{\lambda}}x^{-1/2}e^{-x/\lambda}$

量子統計は、古典統計を1とおいているから、分母を等しくし、本論前編の量子統計の式より、
$f_R(x)=\displaystyle\frac{c_{iR}}{C_K}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{\lambda}}e^{\alpha}x^{-1/2}\displaystyle\frac{1}{e^{x/\lambda+\alpha}-1}$
$t^2=x/\lambda$とおいて、
$f(t)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{\alpha}\displaystyle\frac{1}{e^{t^2+\alpha}-1}$
この分子のαと分母のαが同じ値の分布は、年間平均降水量がQの時、量子効果CR/CKは1である。年間平均降水量がQの時、量子効果CR/CKは1.19174、となる分布とするために分母のαと分子のαの値を変えて、
$\alpha_R=\alpha_K+\Delta\alpha$
$f(t)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{\alpha_K}\displaystyle\frac{1}{e^{t^2+\alpha_R}-1}$

とおいて、CR/CK=1.19174の時、平均年間降水量Qとなるように、αkとΔα、及び、αRを求めると次の結果となる。
$\alpha_K=0.0263$
$\Delta\alpha=0.46776$
$\alpha_R=0.49406$

年間平均降水量の時量子効果を持つ分布を求めると、降水のパラメータαkの項がほぼ1となる。e0.0263=1.0266だから、量子統計は上式の数%の誤差を水蒸気と考えて、$\alpha_K=0$とおいて次のとおりとなる。
          $f(t)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\frac{1}{e^{t^2+\alpha_{\lambda}}-1}$

定数αλを求めると、
$Q=\int_0^\infty Cf(t)dt\int_0^\infty \lambda t^2f(t)dt$
$Q=\displaystyle\frac{\lambda}{2}C$より、
$\displaystyle\frac{1}{2}=\int_0^\infty f(t)dt\int_0^\infty t^2f(t)dt$
$\alpha_{\lambda}=0.4789$


また、純物質を混合すると、系のポテンシャルエネルギーGは若干小さくなる。量子統計では、$\alpha_K=0$だから、分母と分子にαKがあり、量子統計は気体Aと気体Bの混合物だから、系の降水のポテンシャルエネルギーGは変化したポテンシャルエネルギーdGと等しい。

系の小さくなったポテンシャルエネルギーdGは次の式で表される。
$dG=N_{H_2 O}\tau\ln \displaystyle\frac{N_{H_2 O}+N_{Air}}{N_{H_2 O}}+N_{Air}\tau\displaystyle\frac{N_{H_2 O}+N_{Air}}{N_{Air}}$

降水量で表して、
$dG=dG_{H_2 O}+dG_{Air}$
$dG_{H_2 O}=C\lambda\ln \displaystyle\frac{N_{H_2 O}+N_{Air}}{N_{H_2 O}}$
$dG_{Air}=C\lambda\displaystyle\frac{N_{H_2 O}+N_{Air}}{N_{Air}}$

降水部分を取り出して、$dG/C\lambda=\alpha_{\lambda}$とおくと、$S_R=\displaystyle\frac{N_A+N_B}{N_A}$、より、
$\alpha_{\lambda}=\ln S_R$
付論前編10)式より、
$\displaystyle\frac{e^{\alpha_{\lambda}}}{S_R}=\displaystile\frac{1.19174}{1.622}$
$\alpha_{\lambda}=0.4789$

従って、αλは減少した降水の化学ポテンシャルである。