気象と統計力学(S3-1)

S3-1 各降水量レベルの揺らぎ

降水量分布f(x)は、12ミリ以下で量子統計から小さい方へずれる。12ミリ以下の降水量分布f(x)は、f(x)SRを量子統計とすれば、添え字はSRの値である、
$f(x)=f(x)_1-P(x)(f(x)_1-f(x)_2)$
P(x)は、降水のエネルギーをE1、大氣のエネルギーをE2とすれば、SRの変形したものである。
$P(x)=\displaystyle\frac{E2}{E1}=SR-1$
P(x)は降水と大気のエネルギーの比である。従って、降水量分布f(x)の右辺第二項は大気の降水回数を表していると考えることができる。降水量分布を量子統計で表すと、或いは、降水が量子効果を持っているとすれば、降水の回数だけではなく大気の回数に対する考察が必要であることが分かる。
各降水量レベルの降水回数の揺らぎを検証することによって、それが、つまり、量子効果は大気であり、新しい力学系は降水と大気で構成されている、ということが、より一層明確となる。

いま、x1の降水量を取る降水回数をc1、x2をc2、x3をc3・・・・とし、次の条件を満たす、
$\sum_i x_i c_i=Q_r$
$\sum_i c_i=C$
グランドカノニカル分配関数Ξは次のとおりとなる。
$\Xi=\sum_C \sum_r exp(\displaystyle\frac{\mu C-Qr}{\lambda})$
$=\sum_C(\sum_r exp(\sum_i \displaystyle\frac{c_i(\mu-x_i)}{\lambda}))$
カノニカル分配関数Γを用いれば、
$\Xi=\sum_C exp(\displaystyle\frac{\mu C}{\lambda})\Gamma$
$\Gamma=\sum_r exp(\displaystyle\frac{-Q_r}{\lambda})$
である。 体積V、降水回数C、新しい温度λが分かっている時はΓを、体積V、化学ポテンシャルμ、新しい温度λが分かっている時はΞを用いる。
ここで、∑rは、∑ici=Cの条件下で現れる全ての微視状態について加えることを表す。それをさらにすべてのCについて加えるから、
$\Xi=\sum_1\sum_2\sum_3 \dots exp(\sum_i c_i(\mu-x_i)/\lambda)$
と書き直すことができる。
ciを0を含む整数とすれば、
$\Xi=\Pi_i(1-e^{(\mu-x_i)/\lambda})^{-1}$
ここで次の変換を用いた。
$1+e^x+e^{2x}+e^{3x} \dots =\displaystyle\frac{1}{1-e^{x}}$
平均降水回数⟨ci⟩は、
$\langle c_i \rangle=\displaystyle\frac{1}{\Pi}\sum_C\sum_r c_i exp(\sum_i(ci(\mu-x_i)/\lambda))$
$⟨=\displaystyle\frac{1}{\Pi}(\sum_{c_1}exp(c_1(\mu-x_i)/\lambda))$
$\dots (\sum_{c_i}c_i exp(c_i(\mu-x_i)/\lambda))\dots $
ci以外の項は分母と分子で消去し合うから、
$=\displaystyle\frac{1}{(1-exp((\mu-x_i)/\lambda))^{-1}}$
$*(\sum_{c_i}c_i(exp((\mu-x_i)/\lambda))^{c_i})$
$=\displaystyle\frac{1}{(1-exp((\mu-x_i)/\lambda))^{-1}}$
$*\displaystyle\frac{exp((\mu-x_i)/\lambda)}{(1-exp((\mu-x_i)/\lambda))^2}$
$=\displaystyle\frac{1}{exp((x_i-\mu)/\lambda)-1}$
ここで次の変換を用いた。
$\sum_n nx^n=x\displaystyle\frac{d}{dx}\sum_n x^n$
$=x\displaystyle\frac{d}{dx}(\displaystyle\frac{1}{1-x})=\displaystyle\frac{x}{(1-x)^2}$

各降水量レベルの平均降水回数<ci>は、グランドカノニカル分布を用いて、Cは降水回数の和、rは微視状態の数の和である、
$\langle c_i\rangle=\displaystyle\frac{1}{\Xi}\sum_C\sum_r c_i e^{\mu C/\lambda}exp(-\displaystyle\frac{1}{\lambda}\sum_i c_i x_i)$
$\Xi=\sum_C\sum_r e^{\mu C/\lambda}exp(-\displaystyle\frac{1}{\lambda}\sum_i c_i x_i)$
これをxiで偏微分し、−λをかけると、
$-\lambda\displaystyle\frac{\partial c_i}{\partial x_i}=\displaystyle\frac{-\lambda}{\Xi^2}(\displaystyle\frac{\partial\Xi}{\partial x_i}\sum_C\sum_r c_r e^{\mu C/\lambda}exp(-\displaystyle\frac{1}{\lambda}\sum_i c_i x_i)$
$+\Xi\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_C\sum_r e^{\mu C/λ\lambda} exp(-\displaystyle\frac{1}{\lambda}\sum_i c_i x_i))$
$=-\displaystyle\frac{1}{\Xi^2}(\sum_C \sum_r c_i e^{\mu C/\lambda}exp(-\displaystyle\frac{1}{\lambda}\sum_i c_i  x_i))^2$
$+\displaystyle\frac{1}{\Xi}\sum_C\sum_r c_i^2 e^{\mu C/\lambda}exp(-\displaystyle\frac{1}{\lambda}\sum\I c_i x_i)$
$=\langle c_i^2\rangle-\langle c_i\rangle^2$
$=⟨\langle(c_i-\langle c_i\rangle)^2⟩\rangle $
揺らぎの式が導ける。
また、⟨ci⟩は、
       $\langle c_i\rangle=\displaystyle\frac{1}{exp((x_i-\mu)/\lambda)-1}$
より、
$-\lambda\displaystyle\frac{\partai c_i}{\partial x_i}=\displaystyle\frac{exp((x_i-\mu)/\lambda)}{(exp((x_i-\mu)/\lambda)-1)^2}$
$=\displaystyle\frac{1}{(exp(x_i-\mu)/\lambda)-1}$
$+(\displaystyle\frac{1}{(exp(x_i-\mu)/\lambda)-1})^2$
$=\langle c_i\rangle(1+\langle c_i\rangle)$
従って、
$\sigma^2(c_i)=\langle c_i\rangle(1+\langle c_i\rangle)$

各降水量レベルに配置された降水回数の揺らぎの2乗、σ2(ci)は、各降水量レベルに配置された降水回数の平均値<ci>に等しい。右辺第2項は量子効果である。この簡単な命題が、降水と大気に新しい世界、量子の世界を開くことになる。

0

このエントリーをはてなブックマークに追加