気象と統計力学(P3)

P3 エントロピーと最も確からしい確率

4. エントロピーと確率

系を確率的に考察するために、エントロピーSと降水量のパラメータλを次のように定義する
  

    \[S=\ln W(Q).......11)\]

    \[\displaystyle\frac{\partial S}{\partial Q}=\displaystyle\frac{1}{\lambda}.......12)\]

Qは年間降水量であり、W(Q)は、微視的な降水量への一雨の降水の配置の数である。λは一雨の降水量から定まるパラメータである。 いま、降水回数C、体積V、降水量のパラメータλの系をZ個考える。微視状態iで降水量xiの系がzi個あるとし 、        微視状態 1 2 3 ・・・    降水量  x1  x2  x3  ・・・    系の数  z1  z2  z3  ・・・ 次の条件を満たしているものとする。

    \[\sum_i z_i = Z.......13)\]

    \[\sum_i z_i x_i = Q.......14)\]

ここで、微視状態iと系の数ziは離散的であるが、降水量xiはある程度の幅を持ち、降水量xiはその中心値であると考える Z個の系をziに分ける仕方の数は

    \[W=\displaystyle\frac{Z!}{z_1!z_2!z_3!\dots}\]

Zが十分大きいと、スターリングの近似式、

    \[\ln Z!=Z\ln Z-Z\]

を用いて、

    \[\ln W=-\sum_i z_i\ln{\displaystyle\frac{z_i}{Z}}\]

ここで、Z個の系全体のエントロピーをSZとすれば、エントロピーの定義から、

    \[S_Z=-Z\sum_i P_i\ln P_i\]

ここで、

    \[P_i=\displaystyle\frac{z_i}{Z}\]

Piは系が微視状態iにある確率、割合である。 従って、系1個のエントロピーSは、確率を用いて次のようになる。

    \[S=\displaystyle\frac{S_Z}{Z}=-\sum_i P_i\ln P_i.......15)\]

5. 最も確からしい確率 最も確からしい確率を求めるために、系のエントロピーが最大になる確立をラグランジュの未定係数法で求める。 満たすべき条件は次のとおりである。 13)式から、 16) 14)式から、 とおいて、 17) 15)式、16)式、17)式から、 これをPiで微分すると、 df1に-α、df2に-βをかけ、dlnWとの和を0とおく。 従って、 全ての微視状態を独立とすると、 ∴          18) 16)式より、 18)式より、 19) 19)式が最も確からしい確率である。 6. βの設定 16)式と17)式に18)式を代入して、 20) 21) 15)式に19)式を代入して、 ∴ この式をQで微分すると、 22) 20)式をQで微分すると、 20)式、21)式より、 従って、22)式より、 12)式の定義より、