気象と統計力学(P7)

P7. 降水と大気の継続時間分布


12. 降水と大気の継続時間分布

一雨の降水量xが時間変化する場合としない場合、θを一雨の降水時間として、
$\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=k_{\theta}\theta$
$\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=k_{\theta}$
従って、
$x_{H_2 O}=\displaystyle\frac{1}{2}k_{\theta}\theta^2$        29)
$ x_{Air}=k_{\theta} \theta$                   30)
29)式と30)式を最も確からしい分布19)式へ代入すると、それぞれの継続時間分布が得られる。

$f_{H_2 O}(\theta) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}\sqrt{<\theta^2>}} e^{-\theta^2 /2<\theta^2>}$ 31)
$\langle \theta^2\rangle =\displaystyle\frac{\lambda}{k_{\theta}}$

$f_{Air}(\theta)=\displaystyle\frac{1}{\langle\theta\rangle} e^{-\theta/<\theta> $            32)
$\langle\theta\rangle=\displaystyle\frac{\lambda}{k_{\theta}}$
従って、
      $\langle \theta^2\rangle =\langle \theta\rangle$          33)

31)式は自由度1の継続時間分布、32)式は自由度2の継続時間分布となっている。自由度1の場合を降水の、自由度2の場合を大気の継続時間分布と考えて検証する。

29)式、30)式、33)式より、1次元と2次元の平均降水量の関係が得られる。
$\langle x_{H_2 O}\rangle = \displaystyle\frac{\langle x_{Air}\rangle}{2}$  



13. エネルギーの比と継続時間

新しい力学系では降水のエネルギーεは降水量xに比例し、kεを新しいボルツマン定数として、7)式の次の関係が成立している。
$\varepsilon= k_{\varepsilon}x$

系のエネルギーEは、系に含まれる粒子数をNとすると、
$E = k_{\varepsilon}\langle x\rangle N$
従って、
$E_{H_2 O}=k_{\varepsilon}\langle x_{H_2 O}\rangle N_{H_2 O}$

$E_{Air} =k_{\varepsilon}\langle x_{Air}\rangle N_{Air}$
エネルギーの比は、
$\displaystyle\frac{E_{H_2 O}}{E_{Air}} = \displaystyle\frac{\langle x_{H_2 O}\rangle N_{H_2 O}}{\langle x_{Air}\rangle N_{Air}}$
29)式と30)式より、
$\displaystyle\frac{E_{H_2 O}}{E_{Air}} = \displaystyle\frac{\langle \theta^2\rangle N_{H_2 O}}{2\langle \theta \rangle N{Air}}$

SLの定義より、
$\displaystyle\frac{E_{H_2 O}}{E_{Air}} =\displaystyle\frac{\langle \theta^2\rangle S_L^2}{\langle \theta\rangle S_L} = S_L$

これは先ほどの定義、E1/2E2=SLと表記が違っているが、自由度1の粒子が2N個あるか、自由度2の粒子がN個あるかの違いで、系の自由度は2Nだから、2E2=EAirである。
分子を<ω2>、分母を<ω>とすると、

$\langle \omega^2\rangle=S_L^2\langle \theta^2\rangle$
$\langle \omega\rangle =S_L \langle \theta\rangle$
従って、
$\langle\omega^2\rangle =S_L\langle \omega\rangle$              34)
系に降水と大気にエネルギーの比SLが存在すると、33)式は34)式に変わる。33)式と34)式を31)式と32)式の降水と大気の継続時間分布に適用すると、新しい力学系の降水と大気の継続時間が短くなっているかどうかを検証することができる。
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